在Vue中，虽然没有内置的方法来直接监听DOM元素的大小变化，但可以使用现代的JavaScript API ResizeObserver来实现这一功能。ResizeObserver允许你监听一个元素的边框盒（border-box）尺寸的变化。

以下是如何在Vue组件中使用ResizeObserver来监听一个div元素宽度变化的示例：

<template>
  <div ref="resizeDiv">这里是内容</div>
</template>

<script>
export default {
  mounted() {
    this.$nextTick(() => {
      // 创建ResizeObserver实例并传入回调函数
      this.resizeObserver = new ResizeObserver(entries => {
        for (let entry of entries) {
          // entry.contentRect包含了元素的尺寸信息
          const { width } = entry.contentRect;
          console.log(`Element's width is: ${width}px`);
          // 这里可以执行你需要的操作，比如更新数据等
        }
      });

      // 观察特定的div元素
      const resizeDiv = this.$refs.resizeDiv;
      this.resizeObserver.observe(resizeDiv);
    });
  },
  beforeDestroy() {
    // 组件销毁前，断开观察
    if (this.resizeObserver) {
      this.resizeObserver.disconnect();
    }
  }
};
</script>

在上述代码中，组件被挂载后，我们使用this.$refs.resizeDiv来获取模板中的div元素，并创建一个ResizeObserver实例来观察这个元素。当div的大小发生变化时，ResizeObserver的回调函数会被调用，并且可以获取到新的尺寸信息。在组件销毁之前，我们通过调用resizeObserver.disconnect()来清理并断开观察，以避免内存泄漏。

请注意，ResizeObserver是一个现代浏览器的API，如果你需要支持老版本浏览器，可能需要使用polyfill或者其他替代方案。